数论是最原始的两个数学分支，即算术与几何，保留下来的问题。传统的几何学已经枯萎，所有的问题都得到解决。而传统的算术却积累了越来越多的问题，成为难以穿越的密林。过去被认为是纯粹数学的，是专门研究整数的性质，整数按乘法性质划分，可以分成“素数”，“合数”，“1”，素数产生了很多一般人也能理解而又悬而未解的问题，如哥德巴赫猜想。两千多年来，数论学一个最重要的任务就是寻找一个素数普遍公式，人们花费了巨大的心血，始终未获成功（参见百度网页“素数普遍公式”）很多诸如此类的问题虽然形式上十分初等，但事实上却要用到许多艰深的数学知识。这一领域的研究从某种意义上推动了数学的发展，催生了大量的新思想和新方法。
分支
- 初等数论
- 意指使用不超过高中程度的初等代数处理的数论问题，最主要的工具包括整数的整除性与同余。重要的结论包括中国余数定理、费马小定理、二次互反律等等。
- 解析数论
- 借助微积分及复分析的技术来研究关于整数的问题，主要又可以分为积性数论与加性数论两类。积性数论借由研究积性生成函数的性质来探讨质数分布的问题，其中质数定理与狄利克雷定理为这个领域中最著名的古典成果。加性数论则是研究整数的加法分解之可能性与表示的问题，华林问题是该领域最著名的课题。此外例如筛法、圆法等等都是属于这个范畴的重要议题。
- 代数数论
- 引申代数数的话题，关于代数整数的研究，主要的研究目标是为了更一般地解决不定方程的问题，而为了达到此目的，这个领域与代数几何之间有相当关联，比如类域论(class field theory) 就是此间的颠峰之作.
- 算术代数几何
- 研究有理系数多变数方程组的有理点，其结构(主要是个数)和该方程组对应的代数簇的几何性质之间的关系，有名的费玛猜想, Mordell猜想, Weil猜想℉, 和七个一百万问题中的 Birch-Swiner-Dyer 猜想都属此类.
- 几何数论
- 主要在于透过几何观点研究整数（在此即格子点）的分布情形。最著名的定理为闵可夫斯基定理。
- 计算数论
- 借助电脑的算法帮助数论的问题，例如素数测试和因数分解等和密码学息息相关的话题。
- 超越数论
- 研究数的超越性，其中对于欧拉常数与特定的 Zeta 函数值之研究尤其令人感到兴趣。
- 组合数论
- 利用组合和机率的技巧，非构造性地证明某些无法用初等方式处理的复杂结论。这是由保罗·爱多士开创的思路。
- 模形式
应用
外部连结
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